This note is about the program trade, a program with the property that for all words p, running trade with p in R1 and all other registers empty does the same thing as running p with trade in R1 and all other registers empty. In symbols

For example, if p is 1###, then φ_p computes the identity function, and so

For another, if p is reverse, a program to turn words around, then φ_trade(p) would be the reverse of trade.

Writing trade involves both the Recursion Theorem and a universal program u.

To understand the derivation, you will need to review our work on the Kleene Recursion Theorem.

We take q1 to be

Then we define trade by

This also turns out to be

The trade program below has 13,035 instructions.

Running it on 1### takes 9,124,755,237 steps (that is, over 9 billion).

Of these, instruction number 13000, which is a 111##### instruction (cases on R3), was evaluated most often: 1,249,834,605 times.

182 instructions were not evaluated at all

12698 instructions were evaluated exactly once

140 instructions were evaluated at least a thousand times

24 instructions were evaluated at least a million times

1 instruction was evaluated at least a billion times

I am grateful to Will Byrd for these statistics.

We can identify some of the parts of trade by colors:

move_1,4

φ_diag(q1)

move_4,2

move_2,3

write

diag

u

1##### 111111### 111### 1111## 1111#### 1111# 111111#### 1# 1## 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1## 1# 1# 1# 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1## 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1# 1# 1## 1## 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1# 1## 1# 1# 1# 1# 1# 1# 1## 1## 1## 1## 1# 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1# 1## 1## 1# 1## 1## 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