21×21 {-1, +1} matrices of maximal determinant

Ratio of |Det R_j| to Barba bound: 0.905808

M=R_j^TR_j= R_j R_j^T for j=1, 2, ..., 7:

21  5  5  5  5  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 5 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 5  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 5  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 5  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21  1
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 21

R₁:

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--++--+++--+
+-++++-++-+-+++----++
+-+++++-++-+-+-+--++-
+-++++++-++---+-+++--
++-++++---+++-++--+-+
++-++--+++-++-+-+-++-
++-++-++-++-++-+-+-+-
++-+++--++++-+--++--+
+++-+-+-+++---+++--++
+++-++-+-+--++-++-+-+
+++-+++----++++-++-+-
+++-+--++-++-+++-++--
++++--++--++-+--+-+++
++++-+-+-+-+--++-+-++
++++--+-++--+++--++-+
++++-+--+-+-+--+++++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--++--+++-+-
+-++++-++--++++---+-+
+-+++++-+++--+-+---++
+-++++++-++---+-+++--
++-++++---+++-++--++-
++-++++--+-+++--++--+
++-++--++++-+-++-+--+
++-++--+++++-+--+-++-
+++-++-+-+-+--+++--++
+++-+-++--+-++-++-+-+
+++-++--+-+-+++-++-+-
+++-+-+-++-+-+++-++--
++++--+-++--+-+-+-+++
++++--++--++-++--+-++
++++-+--+-++---++++-+
++++-+-+-+--++-+-+++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--+++-+--++-
+-++++-++-+-+--+++--+
+-+++++-++-+-++--+--+
+-++++++-++---+-+-++-
++-++++---+++-++-+-+-
++-+++-+-+-+++--+--++
++-++-+-+++-++--+++--
++-++--+++++--++--+-+
+++-+-+-++--+-+++--++
+++-+++---++-+-++-+-+
+++-+--++-++-++-++-+-
+++-++-+-+--++++-++--
++++-+--+-+-+++---+++
++++--++-++--+-+-+-++
++++--++---++-+-+++-+
++++-+--++-+---+++++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--+++-+-+-+-
+-++++-++-+-+++---+-+
+-+++++-++-+--+-++--+
+-++++++-++----++-++-
++-++++---++++--+--++
++-+++--++-++-++--++-
++-++-++-++-+-++-+--+
++-++--+++++-+--+++--
+++-+--++-++--+++--++
+++-+-+-++--++-++-+-+
+++-++-+-+--+++-++-+-
+++-+++---++-+++-++--
++++--++-+-+-++---+++
++++-+--+++--+-+-+-++
++++-+-+---++--++++-+
++++--+-+-+-+-+-++++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--+++-+-+--+
+-++++-++-+-+++---++-
+-+++++-++-+---++-++-
+-++++++-++---+-++--+
++-++-+-+-+++-+-+-+-+
++-+++-+-+-++-++-++--
++-++++--++-++-+---++
++-++--+++++-+--++-+-
+++-+--+++--+-+++--++
+++-++-+--++-+-++-+-+
+++-+++----++++-++-+-
+++-+-+-+++--+++-++--
++++--++-+-+-++---+++
++++-+--+-++--++-+-++
++++-+--++--++--+++-+
++++--++--+-+--+++++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--+++-+--+-+
+-++++-++--++-+-++-+-
+-+++++-+++---+-+-+-+
+-++++++-++--+-+-+-+-
++-++++---+++-++-+--+
++-++++--+-+++--+-++-
++-++--++++-++--++--+
++-++--+++++--++--++-
+++-+-++-+--+-+++--++
+++-++--+-++-+-++--++
+++-+-++--++-++-+++--
+++-++--++--++++-++--
++++-+-+--+-+++---+++
++++--+-++-+-++--+-++
++++-+-+-+-+---++++-+
++++--+-+-+-+--+++++-

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--++-++--++-
+-++++-++-+-+-+-++--+
+-+++++-++-+-+--+-+-+
+-++++++-++--+-+-+-+-
++-+++--+-++++-+---++
++-++-++-+-++++--+--+
++-++++--++-+-+-+-++-
++-++--+++++---++++--
+++-++-+-+-+--+++--++
+++-+-++--+-++-++-+-+
+++-+-+-+-++-++-++-+-
+++-++--++--++++-++--
++++---++++--++---+++
++++--+-++--+--+++-++
++++-++---++--++-++-+
++++-+-+---+++--++++-

Notes:

1. Cannot achieve Barba bound as 41=2×21-1 is not a perfect square.
2. M was found by Chadjipantelis, Kounias and Moyssiadis [CKM2] who gave a proof of its optimality and exhibited a maximal determinant matrix equivalent to R₆.
3. The complete classification of maximal determinant matrices in order 21 was described in [O3] where it was found that there are 7 inequivalent matrices, given above. Matrices R₂, R₃,and R₆ are self-dual. Matrices R₁ and R₇ are duals of each other, as are R₄ and R₅.