43×43 {-1, +1} matrices of largest known determinant

|Det Rj| = 17051000000000000000000×242 = 17051×1018×242 for j=1, 2

Ratio of |Det Rj| to Ehlich/Wojtas bound: 0.871805

M=RTR=R RT: 

 43  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5
  3 43  3  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3 43  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3  3 43  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3  3  3 43  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3  3  3  3 43  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3  3  3  3  3 43  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3  3  3  3  3  3  3 43 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 43  3  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3 43  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3 43  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3 43  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3 43  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3 43  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3  3 43 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 43  3  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3 43  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3 43  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3 43  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3 43  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3 43  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3  3 43 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 43  3  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3 43  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3 43  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3 43  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3 43  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3 43  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3  3 43 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 43  3  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3 43  3  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3 43  3  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3 43  3  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3 43  3  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3 43  3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3  3 43 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 43  3  3  3  3  3  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3 43  3  3  3  3  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3 43  3  3  3  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3 43  3  3  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3 43  3  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3 43  3
 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  3  3  3  3  3  3 43

There are 2 known inequivalent matrices composed of 21×21 circulant blocks, A and B,

 |-1   j  -j |
 |           |
 |  T        |
 | j   A   B |
 |           |
 |  T   T   T|
 |-j   B  -A |
where j is the 1×21 all 1 vector.

The first rows of A and B are:
R1: 

--++--++++-+-+-++----
+-++----+--++-+---+--
R2: 
+-+--+-++--++----+-++
+++-++--+-+----+-----
By permuting rows and columns, the matrices can be arranged so that M=RTR=RRT is close to Ehlich block form, as shown above. For example, R1 can be rearranged to give
R: 
-+++++++++++++++++++++---------------------
+-+++-+---+-++-+-++---++--+-+-------+-+++--
+--+++-+---+-++-+-++--+++--+---------+-+++-
++--+++-+---+-+--+-++--+++--+---------+-+++
+-+--+++++---+----+-+++-+++---------+--+-++
++-+--++-++---++---+-+-+-+++--------++--+-+
+++-+--++-++---++---+---+-+++-------+++--+-
++++-+---+-++---++---++--+-++--------+++--+
+-+-++---+++-+---+-++--+-+++-++--+-+-------
+--+-++---+++-+---+-++--+-++++++--+--------
+---+-+++--+++-+---+-++--+-++-+++--+-------
++---+-+-+--+++++---+-++--+-++-+++---------
+++---+-+-+--++-++---++++--+--+-+++--------
+-++---+++-+--++-++----+++--+--+-+++-------
++-++---+++-+---+-++--+-+++--+--+-++-------
+---+-++-+-++---+++-+---------+-+++-++--+-+
++---+-+--+-++---+++-+---------+-++++++--+-
+++---+----+-+++--+++--------+--+-++-+++--+
+-++---++---+-+-+--+++-------++--+-++-+++--
++-++---++---+-+-+--++-------+++--+--+-+++-
+-+-++---++---+++-+--+--------+++--+--+-+++
+--+-++-+-++---+++-+---------+-+++--+--+-++
-++-+--+--+++-+-------++-+---+++--+-+--+-++
-+++-+--+--+++---------++-+---+++--+++--+-+
--+++-+--+--+++---------++-+-+-+++--+++--+-
---+++-++-+--++----------++-+-+-+++--+++--+
-+--+++-++-+--+-------+---++---+-++++-+++--
--+--++++++-+----------+---+++--+-++-+-+++-
-+-+--++-+++-+--------+-+---+++--+-+--+-+++
--------++-+--+--+++-+++--+-+++-+---+++--+-
--------+++-+--+--+++-+++--+--++-+---+++--+
---------+++-+--+--+++-+++--+--++-+-+-+++--
----------+++-++-+--+++-+++-----++-+-+-+++-
--------+--+++-++-+--+-+-+++-+---++---+-+++
---------+--++++++-+----+-+++-+---+++--+-++
--------+-+--++-+++-+-+--+-+++-+---+++--+-+
-+--+++--------++-+--+-+++--+++--+-+++-+---
--+--+++-------+++-+--+-+++--+++--+--++-+--
-+-+--++--------+++-+--+-+++--+++--+--++-+-
-++-+--+---------+++-+--+-++++-+++-----++-+
-+++-+---------+--+++-+--+-++-+-+++-+---++-
--+++-+---------+--+++++--+-+--+-+++-+---++
---+++-+-------+-+--+++++--+-+--+-+++-+---+

Notes:

  1. This determininant surpasses a previous record. It was discovered by Tomas Rokicki.
  2. The matrix R1 was found by Tomas Rokicki during the Lars' Programming Contest. R2 was independently found by Ivan Kazmenko and Vadim Trofimov during the same contest. The same determinant value was also found by Jean-Charles Meyrignac and Jaroslaw Wroblewski, again as part of the Lars' contest.
  3. Transposing the above matrices gives 2 additional inequivalent matrices.
  4. Cannot achieve Ehlich bound since it is not an integer.
  5. This form has not been proved to be optimal.
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Page created 19 April 2005.
Last modified 19 April 2005.
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