54×54 {-1, +1} matrices of maximal determinant

|Det Rj| = 4861866500243236682895179648477×253 = 689×1325×253 for j=1, 2 , ..., 48

Ratio of |Det Rj| to Ehlich/Wojtas bound: 1

M=RjTRj= Rj RjT for j=1, 2 , ..., 48:

    | S   0 |
M = |       |
    | 0   S |
with S = 52 I + 2 J where I is the 27×27 identity matrix and J is the 27×27 matrix with all entries 1.

There are 48 inequivalent matrices composed of circulant blocks, A and B:

 | A   B |
 |       |
 |  T   T|
 |-B   A |
The first rows of A and B are:
R1:
++++--+++-+++-+-+--+-++++-+      ++++----+-+--++-+++++-++--+
R2:
++++-++++--+++-++--++-+-+-+      +++++-+-++----+--+++++--+-+
R3:
+++++-+-++-++++--+---++++-+      ++++-+++-++--+--+-+-+++---+
R4:
+++++-+--+-++++--++++--++-+      ++++-++++--+---+--+++-+-+-+
R5:
+++++-+-+-+--++++-+++--++-+      +++++--++++----+--++-++-+-+
R6:
+++++-+++-+++---+-++-++-+-+      +++++-++--+-++++---++---+-+
R7:
+++++-++-+---+-++-++++-++-+      +++++-+-+++---++--+++-+---+
R8:
+++++-+++-+--++++--+--+++-+      +++++-+----++-+-++--+++-+-+
R9:
+++++-++--+-+-+++--++++-+-+      ++++++----+-+--++-++-+++--+
R10:
+++++--+++-+++-+-++-++--+-+      ++++++-+++-+--+++--+-+----+
R11:
++++++-++--+---++++-++-++-+      +++-+-++++---+++-+-+---++-+
R12:
++++++-+-++++++-+--+--++--+      +++-++--+-+-+--++++---+++-+
R13:
++++++-++-++++-+-++---+-+-+      ++++--++--+-+--++-+++++---+
R14:
++++++--+++-++++-+--++-+--+      ++++-+-+-++++---+--+--+++-+
R15:
++++++-++-+-+-+++--+++--+-+      ++++----+-+--++-+++++-++--+
R16:
++++++-+-++++-++--+-++--+-+      +++++-+-+----+++--+++-++--+
R17:
++++++--++-+-++++---+-+++-+      ++++++-+--++--+-+--+++--+-+
R18:
++++++---++++-+-++-++--++-+      ++++++-+-+--+++---+-+--++-+
R19:
++++++-+-++-++--+-++--+++-+      ++++++-+-+-++---++++---+--+
R20:
+++++++-++++---+-+-+++-+--+      +++-++++-+--+-+++--++--+--+
R21:
+++++++--++++-++-+-++---+-+      ++++-+++-++--+--+-+-+++---+
R22:
+++++++--++++-+--+-++--++-+      ++++---+--+++-+-+-+--++++-+
R23:
+++++++-+--++++--+++-+--+-+      ++++-+-+--+++---+--++-+++-+
R24:
+++++++-+-+-+++--++-++--+-+      ++++----++---++-++++-+-++-+
R25:
+++++++--+++-+++--+-++--+-+      ++++-+-+--+--+++-+---++++-+
R26:
+++++++-++++----++-++-++--+      +++++--+-+-++--+++--+-+-+-+
R27:
+++++++-+++--++++--+-+-+--+      +++++-+-++-++--+-+++---+--+
R28:
+++++++--+--++--++++-++-+-+      +++++-+-+++-+-++---++-+---+
R29:
+++++++-+++-+-++-+-++--+--+      +++++--+++-+-+++--++-+----+
R30:
+++++++-++++---+-++-+-++--+      +++++---+-+-++--+++-+--++-+
R31:
++++++++---+--++-++-+-+++-+      +++----+++-+-++-+++--++-+-+
R32:
++++++++---+++--+--+++-++-+      +++---+-+-+-++++-++-+--++-+
R33:
++++++++-+-+--+--++-++++--+      +++-+-+---++++--+-+++--++-+
R34:
++++++++-++--+++-+--+-+-+-+      +++--++++-+--++-++++--+---+
R35:
++++++++-+--+-+++-+--+++--+      +++-+++--+--+-+++---+-+++-+
R36:
++++++++---++-++--+-+++-+-+      +++-+--+-+---++++-+++--++-+
R37:
++++++++---++-+-+-+-++-++-+      ++++-+--+++-++--+++----++-+
R38:
++++++++-+-+-++--++-++-+--+      ++++--++++-+-++-+++---+---+
R39:
++++++++-+-+--+++---++-++-+      ++++-++---+-+++-+-++-++---+
R40:
++++++++-+-++-+--++-+++---+      ++++-+---+-+--+++-++-+++--+
R41:
++++++++-+--++++--++--+-+-+      +++++-+--++++--+-+-+--++--+
R42:
++++++++-+-++-++--+--+++--+      +++++---+-+++-+-++---++-+-+
R43:
++++++++-++-+--++-+++---+-+      +++++--++-+-+-++---+++--+-+
R44:
++++++++---+++--++-+++--+-+      ++++++-+--++-+--+-+-+-++--+
R45:
+++++++++--+--+-++-+-+++--+      +++--++-+++-++----+++-+-+-+
R46:
+++++++++-+--+--++-+-+++--+      ++++---+++-++--+++-+--+-+-+
R47:
++++++++++---+-++-+-+-++--+      +++--+--++-+++---+++-+-++-+
R48:
++++++++++--+-++--++-+-+--+      +++---+-+-++++--+-+++--++-+

Notes:

  1. A maximal matrix was first found by Yang [Y2]. It is of circulant block form.
  2. The complete set of 48 inequivalent circulant block forms was found by by Kounias, Koukouvinos, Nikolaou and Kakos [KKNK1].
  3. Are there other inequivalent matrices?

Back to maximal determinant main page.
Page created 20 March 2002.
Last modified 28 May 2003.
Comments: maxdet@indiana.edu